Another Extension of Euler's Formula Through Polar Co-ordinates

Another Extension of Euler's Formula Through Polar Co-ordinates

Another Extension of Euler’s Formula Through Polar Coordinates

オイラーの公式の極座標による新たな拡張 Papers (Published Since 1995 on the Annual Report of TMCT , TOKYO)

Hideo Suzuki(鈴木英夫) Kunihiro Ohta(太田邦弘) Dr. Kouichi Nakano(Dr. 中野紘一)

I)We have discovered another extended form of the noted Euler’s Formula( or Euler’s Identities ) by Polar Coordinates.

オイラーの公式の指数部 i・θは純虚数であるが、これを一般複素数に拡張するに当たり直角座標系 ( X + i・Y) と極座標系 ( Rcosθ+ i・Rsinθ) がある。前者による拡張形は、既知のとおりであるが、後者による拡張形は、どの文献にも見当たらない。我等は、Maclaurin級数を用いて、オイラーの公式の極座標による拡張形を発見した。 The Euler’s Formula in Complex Analysis ; We propose to call this formula “Cotes-Euler’s Theorem”. discovered  (   click and enlarge  ;  クリックで拡大します。) ここに角度の単位は、正弦波形式の箇所では、度[°] でも ラジアン[rad] でも良いが、 指数形式の部分では、必ず無次元の ラジアン[rad] に限る。 Here, real variables (X,Y,R and Θ) are basically non-dimensional. (吟味1) かつて、この公式について、「そんなことは、当たり前である。」というご意見をお寄せ頂いた。有難う御座います。感謝致します。 もともと、公式というものは、解ってみれば、”コロンブスの卵”の様であり、「当たり前」なのが、その本質ではないでしょうか。

II)And concerning it , we have made clear the value of the Zeroth power of Zero.

上記級数のΣ内の第0項に発生する「零の零乗の値」について、 日本では、「不定」として一括処理されている。 又、世界的にも、「+1に確定する場合」が在るのに、公式集などに記載されていない。 この”単純極まり無い”「盲点、又は、集団的錯覚」を指摘し、明確にした。 We think there is a world-wide mass illusion that “the Zeroth Power of Zero is always indeterminate”. We pointed out this “extremely simple” blind spot and  made clear the vagueness. 1) There are two cases (ⅰ) in the 3D space Z = f (x , y) = X^Y ; 3D空間 ; 点 (x , y) の原点への近づき方によ り、収束値 f (0.0,0.0) の値が異なる。 即ち、不定。 不定 (ⅱ) on the 2D plane Z = f (x) = X^0 ; 2D平面 ;点(x)が、原点に正負のどちら側から近づいても、収束値 f (0.0)  は、+1。 即ち、確定。 確定 定説では「ただし、X=0.0 を除く」とされているが、それでは不十分であり、 厳密には、零を除く必要は無く、X=0.0 を含めて成立する。 ( x  には、整数 N が含まれている ) 2)Zero as integer and real According to Mathematica , integer zero is expressed as “ 0 ” and real zero as “ 0.0“.  Standing at the practical point of view , and considering that integer zero converges faster than real zero. case02 両者は、3D と 2D とで、議論する世界が異なるので、 同じ「零の零乗」で値が異なっても、互いに矛盾せず、共存できる。 The world of discussion is basically different, the former is “in the 3D space” and the latter is “on the 2D plane”. So, even if the same “Zeroth power of zero” takes the different value , they do not contradict each other . 0!=1 は定義である、が、 「零の零乗の値」については、そもそも定義すべき事柄ではなく、 普遍的,客観的な数学上の事実が、厳然と存在するのみ なのである。 現代では、computer による描画技術が成熟しているので、Z=Xy の 原点付近での関数面を描画するのは容易である。 005 top01 < Z=X^Y ; near the Origin ,the 1’st quadrant( viewing from the 3’rd ), 2004 > この図から、以下の事が判明した。( 定義域は、1 象限および 4象限である) ①零の零乗の値は、原点に近づく方向によって、収束値が変化する。 よって不定である。 しかし、事柄の性格上、”単に不定では済まされない。” ②零の零乗の値は、負になることは無い。 ③ Y軸上の、+側から原点に近づけば、収束値は 零 となる。 ④ Yが、Xより先に 零に収束すれば、収束値は、+1 に確定する。 (吟味2) 「全体が不定であるとき、その一部分も不定である。」と帰結する例があったが、それは論理のエラーである。 確定する一部分が含まれている事も在り得るからである。 日本では、「零の零乗は全て不定」とされているが、何か変な 気がする。 In Japan, it is a common sense that the Zeroth Power of Zero is always indeterminate. But, we feel something queer on it.

III)Another Differential ( / Integral ) Operation by Phase Shift Method 位相シフト法 による微分 / 積分

On the way to research the significance and applicability of this Polar Coordinates type Extension , we have discovered another differential ( or integral ) operation method for periodic functions using Fourier series. この、オイラーの公式の極座標による拡張形の応用例として、次の発見をした。 一般的には、周期関数は Fourier級数で表せる。また、正弦波の微分(又は積分)は位相をπ/2 だけずらす事によって得られる。よって、周期関数の微分(又は積分)も位相をπ/2だけずらす事によって得られる筈である。この”極めて単純で当たり前”の論理に関する記述も文献などに見当たらない。その際の前提条件などについて調べたので、ここに発表する。 ( 但し、 Fourier級数で表せない周期関数、例えば、Cycloid , Trochoid などは、除く ) Another Differential ( / Integral ) Operation by Phase Shift Method 1) Capacitor and Inductor With the AC voltage input to Capacitor and Inductor, the output current of them are mathematically expressed as follows. Showing the phase difference ±π/2 . (  2005  )

ヴェクトル記号法(電圧基準);
コンデンサ(Capacitor) やコイル(Inductor) に印加した交流電圧 V_C や V_L ( 入力;原因とみなす) に対し、流れる交流電流 I_C や I_L ( 出力;結果とみなす) は、それぞれ、印加電圧に対し、π/2 だけ、進んだり、遅れたりする。 x  を時間とみなして、 それを、数学的に表現すると、 Capacitor and Inductorとなる。
Here , Capacitor   ; k = + 1 ( 微分 ) ; Leading Current
*          Resister       ;  k = 0                 ; pure Resister
*          Inductor ;  k =-1 ( 積分 ) ; Lagging Current である。

IV)Relation between Z-plane and W-plane

1)On the origin of W-plane 4_01 4_02 数学書には「Z面全体はW面の原点以外の部分に対応する」と書かれている。 極座標による場合でも「原点を避ける様に」写像される為に、とかく原点を除外しがちである。 しかし、単に除外するだけではなく、「W面の原点は、Z面の実軸の負の無限遠に対応する。」と追加した方が良いのではないか。 2)In case expressed by the common Imaginary-Axis In case expressed by the common Imaginary-Axis 3)In case expressed by the common Real-Axis 周知の通りオイラーの公式は螺旋曲線( spiral )で表される。 In case expressed by the common Real-Axis 4)Counter-Area between Z-plane and W-plane by Polar Coordinates Counter-Area between Z-plane and W-plane by Polar Coordinates Counter-Area between Z-plane and W-plane by Polar Coordinates 5) Euler’s Apple  ;    Cf.  the above paper “Analysis by Mathematica( 2001)” When the circle around the origin ( R=π) on Z-plane is given, the figure on W-plane gives the shape looks like an apple or a fan. So, for the time being, we want to call this figure “ Euler’s Apple” . (( 参照 cf. ))朝日新聞(夕刊2版)1988年3月23日付、数学公式についての記事。 (( 付録 Appendix )) These 3 papers are not finished yet , and may  include a spell miss and a hasty conclusion, but they are the roots of this Homepage. Sorry, they are written in Japanese, but as you know, mathematical formula is the “universal language”, which is valid even also among the numerous stars behind the moon.

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学会に投稿予定です2017年11月22日
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